2015/06/29

Buscando números amigos

Leyendo "La fórmula preferida del profesor", de Yoko Ogawa, encontré el concepto de números amigos. Quizás ya lo había oído antes, hace tiempo. Esta vez, se me ocurrió que podría explorar algunas inquietudes con ayuda de la programación.

Un número natural (es decir, entero positivo) siempre se puede dividir sin dejar resto entre sí mismo y entre uno. 12 se puede dividir exactamente entre 12 y entre 1, como cualquier número natural.

Además, la mayoría de números (aparentemente) se puede dividir exactamente entre otros números menores. 12 se puede dividir también entre 2, 3, 4, y 6.

Los divisores de un número son todos los números menores entre los que se puede dividir exactamente. Los divisores de 12 serían 1, 2, 3, 4, y 6.

Los números 220 y 284, que aparecen en la novela, son amigos porque la suma de los divisores de uno resulta en el valor del otro:

220: 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
284: 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

Se dice que números amigos son extremadamente infrecuentes. Que matemáticos como Fermat y Descartes solo llegaron a encontrar un par, cada uno.

Programando

Pruebo crear un programa en javascript que muestre los divisores, la suma de los divisores, y luego haga lo mismo con esa suma, resaltando un OK si es igual al número:

Se pueden hallar los siguientes pares:
  • 1, 1
  • 6, 6
  • 28, 28
  • 220, 284
Si ampliamos el límite más allá de 300, van apareciendo:
  • 496, 496
  • 1184, 1210
  • 2620, 2924

Los amigos de mis amigos


Para los números amigos, noto este esquema:

a -(sumDiv)-> b -(sumDiv)-> a

¿Qué tal si flexibilizamos un poco la amistad, y que los amigos de mis amigos puedan ser mis amigos?:

a -(sumDiv)-> b -(sumDiv)-> c -(sumDiv)-> d -(sumDiv)-> e -(sumDiv)-> a

Eso sería un grupo de amigos: a, b, c, d, e

Programando

Este programa muestra la serie de suma de divisores del número previo, hasta que se alcance una repetición. Entonces muestra OK.

No conseguí encontrar ningún grupo con más de dos miembros.

Sin embargo, noté que hay números con series largas, que a veces ascienden un poco, antes de converger hacia 1:

  • 30: 42 54 66 78 90 144 259 45 33 15 9 4 3 1
  • 42: 54 66 78 90 144 259 45 33 15 9 4 3 1
  • 54: 66 78 90 144 259 45 33 15 9 4 3 1
  • 60: 108 172 136 134 70 74 40 50 43 1
  • 66: 78 90 144 259 45 33 15 9 4 3 1
  • 102: 114 126 186 198 270 450 759 393 135 105 87 33 15 9 4 3 1
  • 114: 126 186 198 270 450 759 393 135 105 87 33 15 9 4 3 1
  • 120: 240 504 1056 1968 3240 7650 14112 32571 27333 12161 1
  • 126: 186 198 270 450 759 393 135 105 87 33 15 9 4 3 1
  • 132: 204 300 568 512 511 81 40 50 43 1
  • 174: 186 198 270 450 759 393 135 105 87 33 15 9 4 3 1

También aparecieron números con series divergentes:

  • 138: 150 222 234 312 528 960 2088 3762 5598 6570 10746 13254 13830 19434 20886 21606 25098 26742 26754 40446...
  • 150: 222 234 312 528 960 2088 3762 5598 6570 10746 13254 13830 19434 20886 21606 25098 26742 26754 40446 63234...
  • 168: 312 528 960 2088 3762 5598 6570 10746 13254 13830 19434 20886 21606 25098 26742 26754 40446 63234 77406 110754...
  • 180: 366 378 582 594 846 1026 1374 1386 2358 2790 4698 6192 11540 12736 12664 11096 11104 10820 11944 10466...
  • 210: 366 378 582 594 846 1026 1374 1386 2358 2790 4698 6192 11540 12736 12664 11096 11104 10820 11944 10466...

Es como si hubieran ciertos números disparadores: 138, 150, 168, 180, 210, 222, 234, ...

Preguntas

¿Por qué algunas series divergen?
¿Habrá alguna aplicación para los números con series de suma de divisores divergentes?

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